A consistent intermediate wave speed for a well-balanced HLLC solver

In this work, we present a HLLC scheme modification for application to nonhomogeneous shallow-water equations with pollutant transport. This new version is related to the definition of a consistent approximation of the intermediate wave speed. Numerical results are presented to illustrate the importance of such approximation to get appropriate pollutant concentration profiles. Une vitesse intermédiaire consistante pour un schéma HLLC bien équilibré. Résumé Nous présentons une modification du schéma HLLC pour application aux équations de Saint-Venant non homogènes avec transport de polluants. Cette nouvelle version du schéma est reliée à la définition d’une vitesse d’onde intermédiaire consistante. Un exemple est donné afin d’illuster comment une mauvaise approximation de la vitesse intermédiaire peut entrâıner de mauvais résultats sur l’approximation de la concentration en polluant même avec un schéma bien équilibré. Version française abrégée Nous proposons une extension du schéma HLLC pour les équations de Saint-Venant avec topographie et propagation polluants (voir [6]). Pour ce système le schéma HLLC peut s’écrire en fonction du flux numérique provenant du schéma HLL. Pour le cas homogène, ce schéma est basé sur le fait que la troisième composante du flux peut s’écrire en fonction de la première composante du flux et de la concentration en polluant. La définition de la troisième composante du flux est [F i+1/2]3 = [F hll i+1/2]1φ ∗ La définition de φ est simplement la concentration du polluant à gauche ou à droite de l’intervalle x = xi+1/2 en fonction du signe de la vitesse intermédiaire S . Pour le cas non homogène nous considérons un schéma de type HLL écrit comme fonction du flux numérique qui dépend de la définition du terme de front (voir [4], [8]). Ceci va nous permettre d’obtenir une extension naturelle du schéma HLLC au cas non homogène à partir du cas homogène. Nous prouvons que le schéma proposé calcule exactement la solution stationnaire de l’eau au repos et qu’il est asymptotiquement bien équilibré (voir [4]) indépendamment de la définition de S. Nous proposons alors une modification de S, qui dépend de la topographie, qui vaut zéro au repos et qui évite des pics anormaux de polluants. En guise d’exemple, nous exhibons un test numérique sur lequel nous observons l’importance de cette modification. L’expression de S est donnée par (5).